anDreeaah: Ley de Ohm

La Ley de Ohm establece que "La intensidad de la corriente eléctrica que circula por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo", se puede expresar matemáticamente en la siguiente ecuación:

$I= \frac{V}{R}$

donde, empleando unidades del Sistema internacional, tenemos que:

I = Intensidad en amperios (A)
V = Diferencia de potencial en voltios (V)
R = Resistencia en ohmios (Ω).

Esta ley no se cumple, por ejemplo, cuando la resistencia del conductor varía con la temperatura, y la temperatura del conductor depende de la intensidad de corriente y el tiempo que esté circulando.

La ley define una propiedad específica de ciertos materiales por la que se cumple la relación:

$V= I \cdot R \,$

Un conductor cumple la Ley de Ohm sólo si su curva V-I es lineal, esto es si R es independiente de V y de I.

Enunciado

En un conductor recorrido por una corriente eléctrica, el cociente entre la diferencia de potencial aplicada a los extremos del conductor y la intensidad de la corriente que por él circula es una cantidad constante, que depende del conductor. A esta cantidad se le denomina resistencia.

La ley enunciada verifica la relación entre voltaje de la red y corriente en un resistor.

Historia

Como resultado de su investigación, en la que experimentaba con materiales conductores, el científico alemán Georg Simon Ohm llegó a determinar que la relación entre voltaje y corriente era constante y nombró a esta constante resistencia.

Esta ley fue formulada por Georg Simon Ohm en 1827, en la obra Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet (Trabajos matemáticos sobre los circuitos eléctricos), basándose en evidencias empíricas. La formulación original es:

Siendo $\vec J$ la densidad de la corriente, $σ$ la conductividad eléctrica y $\vec E$ el campo eléctrico, sin embargo se suele emplear las fórmulas simplificadas anteriores para el análisis de los circuitos.

Deducción

Como ya se destacó anteriormente, las evidencias empíricas mostraban que ${\vec J}$ (vector densidad de corriente) es directamente proporcional a $\vec E$ (vector campo eléctrico). Para escribir ésta relación en forma de ecuación es necesario añadir una constante arbitraria, que posteriormente se llamó factor de conductividad eléctrica y que representaremos como σ. Entonces:

$\vec J={\sigma}{\vec E_{r}}$

El vector $\vec E_{r}$ es el vector resultante de los campos que actúan en la sección de alambre que se va a analizar, es decir, del campo producido por la carga del alambre en sí y del campo externo, producido por una batería, una pila u otra fuente de fem. Por lo tanto:

$\frac{\vec J}\sigma={\vec E + \vec E_{ext}}$

Ahora, sabemos que $\vec J = \frac{I}{A}\vec n$ , donde $\vec n$ es un vector unitario de dirección, con lo cual reemplazamos y multiplicamos toda la ecuación por un $d\vec l$ :

$\frac{I}{A\sigma}\vec n \cdot d\vec l = ({\vec E \cdot d\vec l + \vec E_{ext} \cdot d\vec l})$

Los vectores $\vec n$ y $d\vec l$ poseen la misma dirección y sentido, con lo cual su producto escalar puede expresarse como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo formado entre ellos. Es decir:

$\vec n \cdot d\vec l = \vec n\cdot d\vec l\cdot cos \theta = (1) \cdot d\vec l \cdot cos0 = dl$

Por lo tanto, se hace la sustitución:

$\frac{I}{A\sigma} dl = ({\vec E \cdot d\vec l + \vec E_{ext} \cdot d\vec l})$

Integrando ambos miembros en la longitud del conductor:

$\int_{1}^{2} \frac{I}{A\sigma} dl = \int_{1}^{2}({\vec E \cdot d\vec l + \vec E_{ext} \cdot d\vec l}) = \int_{1}^{2}{\vec E \cdot d\vec l} + \int_{1}^{2}{\vec E_{ext} \cdot d\vec l}$